一、晶界的能量

1.小角晶界能小角晶界界面能：是晶界上所有位错的总能量。对倾转晶界，界面能是一系列同号位错产生的位错应变能。单位长度刃位错能量为：

式中G剪切模量，b柏氏矢量，ν泊松比，Ec位错中心能量，D位错间距。

2.大角晶界能

（1）。任意大角晶界能

（2）。特殊大角晶界能：a.共格孪晶界：是一种有孪晶关系的对称倾转晶界。共格原子基本处于无畸变的状态，共格孪晶界的能量非常低。b.非共格孪晶界：非共格态导致界面能较高。

3.晶界的能量

二、晶界平衡偏析

1. 晶界偏析：在平衡条件下，溶质原子（离子）在晶界处浓度偏离平均浓度。

（1）。偏析的自发趋势：晶界结构缺陷比晶内多，溶质原子（离子）处于晶内的能量比处在晶界的能量高，通过偏析使系统能量降低。

（2）。偏析驱动力是内能差：设一个原子位于晶内和晶界的内能分别为El和Eg，则偏析的驱动力为：

（3）。偏析阻力是组态熵（结构熵）：溶质原子趋向于混乱分布，晶内位置数（N）大于晶界位置数（n），构成了偏析的阻力。设晶内及晶界的溶质原子数分别为P和Q，则P个溶质原子占据N个位置和Q个溶质原子占据n个位置的组态熵为：

（4）。偏析表达式该分布状态下的吉布斯自由能为（斯特林公式lnx!≈xlnx－x）：

平衡条件为：

平衡关系式：

或：

用C及C0表示晶界和晶内的溶质浓度，则：

令ΔE表示1mol原子溶质位于晶内及晶界的内能差：

对稀固溶体，C0＜＜l，上式近似写成：

再做近似：

（5）。影响晶界偏析的因素

●溶质浓度C0: 随溶质的平衡浓度增加而增加。

●温度：因△E为正，故随温度升高C下降。温度高TS项影响大，使偏析的趋势下降；但温度过低，平衡C虽高，但受扩散限制而达不到较高的C值。

●内能△E:内能差△E越大，偏析浓度C越高。点击下载18款必备科研软件。内能差与溶质和溶剂原子尺寸差相关，也与电子因素有关。

●界面能变化：能降低界面能的元素，易形成晶界偏析。根据等温吸附方程：

是偏析量，x为溶质原子的平衡体积浓度。，强化晶界偏析。，导致溶质晶界浓度低于晶内浓度。

三、晶界迁移

1.晶界迁移速度

考虑两晶粒组成的界面，两晶粒的化学位为μⅠ＞μⅡ，作用于原子的力是吉布斯化学位梯度-dμ/dz。于是当界面厚度为λ，则晶粒I的一界面原子

受到的力：

晶界迁移速度取决于晶界两侧的化学位差和晶界原子的迁移率。

2.界面迁移驱动力

两个驱动力：晶界曲率产生的化学位差和形变能。

a.界面曲率

附加压力的拉普拉斯公式：

对半径为r的球形曲面：

热力学等温条件下有：

Vm为摩尔体积。如取界面两侧Vm为常数，积分得到球状界面两侧的化学位差为：

凸侧的化学位高，晶界移动总是向着曲率中心移动。

b.形变能晶粒变形不同，缺陷密度不同，导致吉布斯自由能不同。设一双晶体，其中晶粒I变形小，因吉布斯化学位u于偏摩尔自由能G，其间化学位差：

忽略体积项与熵项，得到：

令晶粒I的形变能为零，可得：

NA为阿伏加德罗常数；ES为晶粒Ⅱ的摩尔形变能。说明：晶界的迁移速度随形变能的大小呈性线变化。点击下载18款必备科研软件。

3.影响晶界迁移的主要因素

● 溶质原子：降低迁移率，与晶界偏析、晶界结构有关。

● 晶界第二相颗粒：阻碍作用，晶界脱离第二相颗粒的迁移是系统能量提高的过程（需生长出这段晶界），产生晶界迁移的阻力。

●温度 ：迁移率与晶界扩散系数D 由Einstein 关系联系：

由上式知随温度的升高，晶界迁移率提高。

● 晶粒位向--晶界的晶粒取向差小，迁移率低。

四、界面能与显微组织形貌

1.复相中的第二相

晶内第二相第二相与基体的总界面能为∑Aiγi，引起的弹性应变能为ΔGS，平衡条件为：∑Aiγi+ΔGS= 最小实际析体形状取决于表面能和应变能两因素的强弱。

●表面能最小，析出等轴状。

●应变能最低，析出薄片状或盘状。

●共格和半共格析出：共格界面的匹配使应变能最小占优，易析出片、盘或针状。

●非共格析出：无切应变，但出现热膨胀不同的正应力。

（a）共格 （b）半共格 （c）非共格

分析右图：球状（c/a= 1）的应变能最高，蝶状（c/a→0）的很低，针状（c/a→∞）的在二者之间。若一非共格析体的平衡形状是椭球，则表明界面能和应变能的共同作用决定了椭球的c/a值。当Δ很小，界面能起主要作用，析体将更近似于球状。

弹性应变能相对值与（c/a）的关系

2.晶界第二相第二相（β）存在于基体（α）的晶界时，第二相在两基体晶粒间张开的角θ称二面角。平衡条件下，有如下关系：

γαα为α相间的界面张力；γαβ为α相和β相之间的界面张力。

3.二面角的界面张力平衡

θ的大小与第二相形貌：

θ取决于界面张力的比值γαα/γαβ。

●γαα＜＜γαβ，θ=180°，β与α完全不浸润，β近似球形；

●γαα= γαβ，θ= 120°，β呈双球冠形；

●γαα= 2γαβ，θ= 0°，β与α浸润，β在α晶界上铺展。